Question

已知：如图，D是等腰直角三角形ABC的斜边AB上一动点，CE⊥CD，且CE=CD．试探究：
（1）在点D的运动过程中，是否存在与线段AD始终相等的线段？如果存在，请证明；如果不存在，请说明理由．
（2）△ACD与△EDB能否全等？如果能，请指出这两个三角形全等时点D的位置，并证明你的判断；如果不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）存在，BE=AD．
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；

（2）能，点D为AB的中点．
证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠DBE=90°，
要使△ACD与△EDB全等，必须有∠ADC=∠DBE=90°，
此时点D为AB的中点，CD=DB，AD=BE，
∴△ACD≌△EDB．
分析：（1）根据同角的余角相等求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BE=AD，从而得解；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBE=∠A=45°，然后求出∠DBE=90°，从而得出D为AB中点时△ACD与△EDB全等．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的性质，比较简单，找出全等三角形全等的条件是解题的关键．