Question

11．多边形的内角中，有且只有3个钝角，求这个多边形的边数的最大值、最小值．

Answer 1

分析 利用内角和的公式，挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件，用不等式确定范围后求解．

解答 解：设∠A，∠B，∠C均为钝角，
则90°＜A＜180°，90°＜B＜180°，90°＜C＜180°．
270°＜A+B+C＜540°．
n边形中其余n-3个角均小于等于90°．
∵∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠N＜540°+（n-3）×90°，
n边形的n个角和为（n-2）×180°，
∴（n-2）180°＜540°+（n-3）×90°，
推出：n＜7，
∴n的最大值为6．
内角只有3个钝角，对应的外角为锐角；其他的内角则为直角或锐角，对应的外角则为直角或钝角
由外角定理：3锐角+n（直角或钝角）=360°
要使n尽可能小，那么3个锐角尽量大（如89°），那么只要一个钝角就行了，n=1，多边形边数为4
综上，多边形边数最小值为4，最大值为6．

点评 本题主要考查了多边形的外角和定理以及不等式的应用，得出（n-2）×180°＜540°+（n-3）×90°是解题关键．