Question

11．如图，△DBC内接于⊙O，DB=DC，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，DB交AC于E，
（1）求证：BC=EC；
（2）若BC=4，AC=6，求BE的长及⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）先由DB=DC，根据等边对等角可得：∠B=∠BCD，然后由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等可得∠D=∠ACB，然后根据三角形外角的性质可得：∠BEC=∠D+∠DCA，即∠BEC=∠ACB+∠DCA=∠BCD=∠B，然后根据等角对等边，即可得：BC=EC；
（2）解：连接AB，作BF⊥AC，垂足为F，由已知条件得到AB=BC=4，根据等腰三角形的性质得到AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=3，由勾股定理得到BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，根据等腰三角形的判定得到CE=BC=4，由勾股定理得到BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，连接BO并延长交⊙O于G，连接CG，则∠BCG=90°，∠G=∠A，求得$\frac{BF}{AB}=\frac{BC}{BG}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵DB=DC，
∴∠B=∠BCD，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠D=∠ACB，
∵∠BEC=∠D+∠DCA，
即∠BEC=∠ACB+∠DCA=∠BCD=∠B，
∴BC=EC；

（2）解：连接AB，作BF⊥AC，垂足为F，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，BC=4，
∴AB=BC=4，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠D=∠ACB，∠DBC=∠EBC，
∴∠BEC=∠BCD=∠CBE，
∴CE=BC=4，
∴EF=1，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
连接BO并延长交⊙O于G，连接CG，
则∠BCG=90°，∠G=∠A，
∵sinA=sinD=$\frac{BF}{AB}=\frac{BC}{BG}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{4}{BG}$，
∴BG=$\frac{16\sqrt{7}}{7}$，
∴⊙O的半径=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．