Question

3．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，0）、B（0，4）、C（4，2），过点C作CD⊥x轴，垂足为D．求证：△ACD∽△ABC．

Answer 1

分析 先根据两点间的距离公式计算出AB=5，BC=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{5}$，再得到AD=1，CD=2，然后得到：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{5}$，则可根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论．

解答 证明：如图，∵A（3，0），B（0，4），C（4，2），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，BC=$\sqrt{{4}^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（3-4）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵CD⊥x轴，
∴AD=4-3=1，CD=2，
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，$\frac{BC}{CD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{5}$，$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△ACD．

点评 本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似．会利用两点间的距离公式计算线段的长．