Question

【题目】如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；

(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为,,；（3）的解析式为或.

【解析】（1）把和代入求出a、c的值，进而求出y1，再根据平移得出y2即可；

（2）抛物线的对称轴为,设,已知，过点作轴于,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t的方程，解方程即可；

（3）设,则,根据对称性得,分点在直线的左侧或右侧时,结合以构成的三角形与全等求解即可.

详解:(1)由题意知，

，

解得，

所以,抛物线y的解析式为；

因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，

所以抛物线的解析式为，

即： ；

(2)抛物线的对称轴为,设,已知，

过点作轴于,

则 ，

，

，

当时，

即，

解得或；

当时,得，无解；

当时,得,解得;

综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,,.

(3)设,则,

因为关于对称,

所以,

情况一:当点在直线的左侧时,

,

,

又因为以构成的三角形与全等,

当且时,,

可求得,即点与点重合

所以,

设的解析式,

则有

解得,

即的解析式为,

当且时,无解,

情况二:当点在直线右侧时,

,

,

同理可得

的解析式为,

综上所述, 的解析式为或.