Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．

（1）求∠A+∠C的度数；

（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．

Answer 1

【答案】（1）270°；（2）DB2＝DA2+DC2；（3）．

【解析】

（1）利用四边形内角和定理计算即可；

（2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题；

（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．想办法证明∠BEC=150°即可解决问题.

（1）如图1中，

在四边形ABCD中，

∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠C＝30°，

∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°；

（2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2，

理由：连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ，

∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，

∴∠ABD＝∠CBQ，

∵AB＝BC，DB＝BQ，

∴△ABD≌△CBQ，

∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，

∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，

∴∠DCQ＝90°，

∴DQ2＝DC2+CQ2，

∵CQ＝DA，DQ＝DB，

∴DB2＝DA2+DC2；

（3）如图3中，

连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE，则△AER是等边三角形，

∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB，

∴RE2＝RB2+EB2，

∴∠EBR＝90°，

∴∠RAE+∠RBE＝150°，

∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，

∴∠BEC＝150°，

∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，

∵∠K+∠BEC＝180°，

∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴点E的运动路径．