Question

如图．直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax²的图象在第一象限内相交于P点，且△AOP的面积为，求二次函数的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：设直线l为y＝kx＋b(k≠0)，P的坐标为(xP，yP)． 　　∵直线l过A(4，0)和B(0，4)， 　　∴故　　 　　∴直线l的解析式为y＝－x＋4． 　　∵S△AOP＝·OA·|yP|，即＝×4×|yP|． 　　∴|yP|＝． 　　∵点P在第一象限， 　　∴yP＞0， 　　∴yP＝． 　　∵点P在l上， 　　∴＝－xP＋4． 　　得xP＝，∴P(，)． 　　又∵点P在抛物线y＝ax2上． 　　∴＝a，()2，得a＝． 　　∴二次函数解析式为y＝x2． 　　思路点拨：本题的关键是求点P的坐标，根据：①点P在l上；②点P在抛物线y＝ax2上；③点P的纵坐标是△AOP底边OA上的高．可求得点P的坐标，若灵活运用这三个条件则可使运算简便，不然就会给计算带来很多麻烦．其思考顺序应为：先由三角形面积列式求点P的纵坐标，然后把它代入直线l的方程，求得点P的横纵标，最后把点P的坐标代入y＝ax2，得到关于a的方程，从而求得a． 　　评注：本例属于一次函数与最简单的二次函数y＝ax2的综合题，要能确定一般的一次函数解析式，必须有两对对应值，确定y＝ax2型的解析式，需要与它有关的一对对应值，若这些条件不能直接得到，那就得充分挖掘题中条件来满足解题需要．