Question

18．如图，已知△ABC，CA=CB，DC=DE，∠BCA=∠CDE=90°，D是AB延长线上一点．
（1）求证：CB⊥EB；
（2）求证：2AD-AB=$\sqrt{2}$EB；
（3）若CE=2，AC=$\sqrt{2}$，点F与点D关于CE对称，连BF，则S_△EBF=1．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CG⊥AB于G，过E作EH⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到DG=EH，CG=DH，等量代换得到DG=BH=EH，根据平角的定义即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2，过B作BH⊥CE于H，连接DF交CE于O，根据对称的性质得到CE⊥DF，OF=OD=$\frac{1}{2}$CE=1，推出△CBE是等腰直角三角形，得到B，D重合，根据三角形的面积即可得到结论；

解答 （1）证明：如图1，过C作CG⊥AB于G，过E作EH⊥AB于H，
∵∠BCA=∠CDE=90°，
∴∠CDG+∠EDH=∠EDH+∠DEH，
∴∠CDG=∠DEH，
在△CDG与△DEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CGD=∠EHD}\\{∠CDG=∠DEH}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△DEH，
∴DG=EH，CG=DH，
∵CG=BG，
∴DH=BG，
∴DG=BH=EH，
∴∠EBH=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBE=90°，
∴CB⊥=BE；
（2）证明：∵2AD-AB=2（AG+DG）-2BG=2（DH+BH）-2DH=2BH，
∵BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴2AD-AB=$\sqrt{2}$EB；
（3）如图2，过B作BH⊥CE于H，连接DF交CE于O，
设CE，BF交于点G，
∵点F与点D关于CE对称，
∴CE⊥DF，OF=OD=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴OC=OE=$\frac{1}{2}$CE=1，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴BC=BE，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴B，D重合，
∴S_△BEF=S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的求法，正确的作出辅助线是解题的关键．