Question

8．如图，扇形AOB中，OA=2，C为$\widehat{AB}$上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$-2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC是等边三角形，∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD的长，由S_阴影=S_扇形AOB-2S_△AOC即可得出结论

解答 解：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA=AC=2．
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=∠BOC=60°
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO=2，
∴AD=OA•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴S_阴影=S_扇形AOB-2S_△AOC=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-2×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．