Question

20．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3求出抛物线解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）首先求出直线CA的解析式为y=k₁x+b₁，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解答 解：（1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3，
得：$\left\{{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}}\right.$
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}}\right.$
抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
顶点C的坐标为（-1，4）．
（2）①若点P在对称轴右侧（如图①），

只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM²=CM²．
设M（m，0），则（ m+3）²=4²+（m+1）²，∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k₁x+b₁，
则$\left\{\begin{array}{l}-{k_1}+{b_1}=4\\ 2{k_1}+{b_1}=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{{b}_{1}=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CM的解析式$y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴$P（\frac{1}{3}，\frac{20}{9}）$．
②若点P在对称轴左侧（如图②），

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH得$\frac{CA}{AF}=\frac{CH}{AH}=2$，
由△FNA∽△AHC得$\frac{FN}{AH}=\frac{NA}{HC}=\frac{AF}{CA}=\frac{1}{2}$．
∴AN=2，FN=1，点F坐标为（-5，1）．
设直线CF的解析式为y=k₂x+b₂，则$\left\{\begin{array}{l}-{k_2}+{b_2}=4\\-5{k_2}+{b_2}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{3}{4}}\\{{b}_{2}=\frac{19}{4}}\end{array}\right.$．
∴直线CF的解析式$y=\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{4}}\\{y=\frac{55}{16}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴$P（-\frac{7}{4}，\frac{55}{16}）$．
∴满足条件的点P坐标为$（\frac{1}{3}，\frac{20}{9}）$或$（-\frac{7}{4}，\frac{55}{16}）$．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，解决本题的关键是利用数形结合的思想解决问题．