Question

如图，在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0），B（0，2）抛物线y=ax²+ax-2经过点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ为正方形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA，得OD=2+1=3，CD=1
∴C点坐标为（-3，1），
∴抛物线经过点C，
∴1=a（-3）²+a（-3）-2，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x²+x-2；

（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形．
以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，可证△PBE≌△AQG≌△BAO，

∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，-1）．
由（1）抛物线y=x²+x-2，
当x=2时，y=1；当x=1时，y=-1．
∴P、Q在抛物线上．
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形．
分析：（1）已知了Rt△AOB≌Rt△CDA，因此OB=AD=2，OA=CD=1，据此可求出C点坐标，然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）可以AB为边在抛物线的右侧作正方形AQPB，过P作PE⊥y轴，过Q作QG垂直x轴于G，不难得出三角形ABO和三角形BPE和三角形QAG都全等，据此可求出P，Q的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、Q是否在抛物线上．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点．综合性强，涉及的知识点多，难度较大．