Question

18．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=AC，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，分别交BD、CD于点F、G．
（1）求证：△ADB≌△CEA；
（2）若BD=9，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB．证出∠BAD=∠ACE，CE=AD，由SAS证明△ADB≌△CEA即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=BD=6，由平行线得出△ADF∽△EBF，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°．        
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠BAD=∠ACE．
∵CE=BC，
∴CE=AD，
在△ABE和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=AD}&{\;}\\{∠BAD=∠ACE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（SAS）．                

（2）解：∵△ADB≌△CEA，
∴AE=BD=9．   
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF．     
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{3}$．       
∴AF=3．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．