Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

（1）求证：△ACD是等边三角形；

（2）若AC=，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为1．

【解析】

（1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是 O的直径，根据垂径定理得到=,于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；
（2）过O作ON⊥AC于N，由垂径定理得到，由（1）知，△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠CAB=30°，于是得到结论．

（1）证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，

∴AB⊥CD，

∵AB是⊙O的直径，

∴=,

∴AD=AC，

∵DA=DC，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等边三角形；

（2）解：过O作ON⊥AC于N，

则

由（1）知，△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°．

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠CAB=30°，

∴

∴⊙O的半径为1．