如图1.在平面直角坐标系中.矩形OABC的顶点A.C的坐标分别为A.点D为OA边的中点.连接BD．(1)直接写出:点D的坐标:(6.0),tan∠BDA=$\frac{2}{3}$,(2)试判定以A点为圆心.以3为半径的⊙A与直线BD有多少个公共点?(3)如图2.若点M从点D出发.以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动.同时点N从点O出发.以每秒3个单位长度的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为A（12，0），C（0，4），点D为OA边的中点，连接BD．
（1）直接写出：点D的坐标：（6，0）；tan∠BDA=$\frac{2}{3}$；
（2）试判定以A点为圆心，以3为半径的⊙A与直线BD有多少个公共点？
（3）如图2，若点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，当点M，N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得△MON为直角三角形时所有t值和取值范围．

分析（1）根据点A和点C的坐标可确定出OA，OC的长，由点D是OA的中点可求得点D的坐标和AD的长，最后根据锐角三角函数的定义求解即可；
（2）如图1所示，过点A作AE垂直BD，垂足为E，由勾股定理求得BD的长，然后由三角形的面积不变可求得AE的长，然后根据d和r的关系可判断出直线DB和圆A的关系，从而可知交点的个数；
（3）如图2、3、4所示，由△MON为直角三角形可求得t的值和t的取值范围．

解答解：（1）∵点A和点C的坐标分别为（12，0）和（0，4），
∴OA=12，CO=4．
∵四边形OABC为矩形，
∴OA=BC=12，OC=AB=4．
∵点D为OA的中点，
∴点D的坐标为（6，0），AD=$\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×12=6$．
∴tan∠BDA=$\frac{AB}{AD}=\frac{2}{3}$．
故答案为：（6，0）；$\frac{2}{3}$．
（2）如图1所示，过点A作AE垂直BD，垂足为E．

在Rt△ABD中，DB=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
由三角形的面积公式可知：$\frac{1}{2}BD•AE=\frac{1}{2}AD•AB$，即$\frac{1}{2}×2\sqrt{13}×AE=\frac{1}{2}×6×4$．
解得：AE=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
∵AE＞3，即d＞r，
∴直线BD与⊙A相离．
∴直线BD与⊙A没有公共点．
（3）①如图2所示：

∵OC=4，DA=6，
∴点N从O到C需要4s，点M从D到A需要2s．
∴0＜t≤2时，点N在OC上，点M在DA上．
∴当0＜t≤2时，△AOM为直角三角形．
②如图3所示：当MN⊥OC时，△MON是直角三角形．

∵MN⊥OC，
∴∠MNO=90°．
∴∠MNO=∠NOA=∠OAM．
∴四边形OAMN为矩形．
∴ON=AM．
∴t=3t-6．
解得：t=3．
∴当t=3s时，△AOM为直角三角形．
③如图4所示：当点N与点C重合时，△NOM为直角三角形．

∵ON=OC=4，
∴3t=4．
∴t=$\frac{4}{3}$
综上所述，当0＜t≤2时或t=3时或t=$\frac{4}{3}$时，△NOM为直角三角形．

点评本题主要考查的是矩形的性质、锐角三角函数的定义、直线和圆的位置关系、勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．

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