Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0），顶点为B．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标；
（2）如果点C的坐标为（4，0），AE⊥BC，垂足为点E，点D在直线AE上，DE=1，求点D的坐标．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0），
∴0=-1-b+3，
解得：b=2，
所求二次函数的解析式为y=-x²+2x+3，
则这个二次函数图象顶点B的坐标为（1，4）；

（2）过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，
在Rt△BCF中，BF=4，CF=3，BC=5，
∴sin∠BCF=，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=，
又∵AC=5，可得，
∴AE=4，
过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．由题意知，点H在点A的右侧，
易证△ADH∽△ACE，
∴==，
其中CE=3，AE=4，
设点D的坐标为（x，y），则AH=x+1，DH=y，
①若点D在AE的延长线上，则AD=5，

得，
∴x=3，y=3，
所以点D的坐标为（3，3）；
②若点D在线段AE上，则AD=3．

得，
∴，，所以点D的坐标为（，）．
综上所述，点D的坐标为（3，3）或（，）．
分析：（1）将点A的坐标代入，可得出b的值，从而求出函数解析式，然后可得出顶点坐标；
（2）过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．由题意知，点H在点A的右侧，则可得出△ADH∽△ACE，从而有==，然后分别讨论，①若点D在AE的延长线上，则AD=5，解出x和y的值，若点D在线段AE上，则AD=3，同理也可求出点D的坐标．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质，解答本题的难点是第二问，关键是分类讨论，注意不要漏解，难度一般．