Question

1．阅读理解题
如图在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=$\frac{∠A的对边}{斜边}$=$\frac{a}{c}$．把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦．记作cosA，即cosA=$\frac{∠A的邻边}{斜边}$=$\frac{b}{c}$．把∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=$\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$=$\frac{a}{b}$．例如：在Rt△ABC中∠C=90°，a=8，b=15求sinA，cosA，tanA．
解：由勾股定理得：c=$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$=$\sqrt{{8^2}+{{15}^2}}$=17，则：sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{8}{17}$cosA=$\frac{b}{c}$=$\frac{15}{17}$tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{8}{15}$
回答下列问题．
（1）在Rt△ABC中，AC=5，BC=12则：sinA=$\frac{12}{13}$，cosA=$\frac{5}{13}$，tanA=$\frac{12}{5}$．
（2）探索发现：①如（sinA）²简写成sin²A，（cosA）²简写成cos²A．则：sin²A+cos²A=1
②你能直接写出sinA，cosA，tanA三个量之间的一个等量关系号？答：tanA=$\frac{sinA}{cosA}$
（3）如果sinA=$\frac{3}{5}$，则tanA=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）首先根据勾股定理计算出BC的长，再根据三角函数的定义分别计算出答案即可；
（2）根据三角函数的定义代入化简即可；
（3）根据题意，由sinα=$\frac{3}{5}$易得cosα的值，进而由同角三角函数的关系，求解可得答案．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{13}$，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$；
故答案为：$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{5}$；

（2）①∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{b}{c}$，
∴sin²A+cos²A=（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=1；
故答案为：1；
②∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{b}{c}$，
∴tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}$=$\frac{sinA}{cosA}$，
故答案为：tanA=$\frac{sinA}{cosA}$；

（3）∵sinA=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴tanA═$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．