Question

19．解方程：$\frac{2（{x}^{2}+1）}{x+1}$+$\frac{6x+6}{{x}^{2}+1}$=7．

Answer 1

分析 设$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=t，则原方程转化为关于t的分式方程，通过解分式方程求得t的值，然后解关于x的分式方程．

解答 解：设$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=t，
则2t+$\frac{6}{t}$=7，
整理，得
（t-2）（2t-3）=0，
解得t=2或t=$\frac{3}{2}$．
经检验，t=2或t=$\frac{3}{2}$都是原分式方程的解．
当t=2时，$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=2，即（x-1）²=2，
解得x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$．
经检验，x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$都符合题意；
当t=$\frac{3}{2}$时，$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=$\frac{3}{2}$，即2x²-3x-1=9，
x=$\frac{3±\sqrt{17}}{4}$，
解得x₃=$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$．
经检验，x₃=$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$都符合题意；
综上所述，原方程的解为：x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$，x₃=$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题考查了换元法解分式方程．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．