Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知B、C的坐标，利用待定系数法进行求解即可．
（2）由于四边形POP′C为菱形，OC必为对角线，进而可知OC的中垂线与y轴右边的抛物线部分的交点即为P点，且P点的纵坐标为OC长的一半的相反数，最终可得P点的坐标．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为：y=mx+n，有：

3m+n=0 n=-3

，
解得：m=1，n=-3；
∴直线BC：y=x-3．
将点B、C的坐标代入y=x²+bx+c中，得：

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；
∴抛物线：y=x²-2x-3．

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为-

3

2

，代入抛物线y=x²-2x-3中，得：
-

3

2

=x²-2x-3，
解得 x₁=

2+ 10

2

，x₂=

2- 10

2

（舍去）
∴点P（

2+ 10

2

，-

3

2

）．

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式，以及图形对称变换，菱形的判定，点的坐标的确定，一元二次方程的求解．（2）题中，首先根据菱形的性质确定点P的纵坐标是解题的关键所在．