Question

2．如图，?ABCD中，E、F分别在AB、CD上，AF、DE交于G，BF、CE交于H
①若DF=BE，求证：四边形EHFG是平行四边形；
②若CF=BE，求证：GH∥AB．

Answer 1

分析 ①可分别证明四边形AECF是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EHFG是平行四边形；
②证得△FCH≌△BEH和△DFG≌△AEG，得出FH=HB，FG=GA，利用三角形的中位线定理求得结论．

解答 ①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DF=BE，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴GE∥FH，
∵AE∥FC且AE=FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴GF∥EH，
∴四边形EHFG是平行四边形．
②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠HFC=∠HBE，∠FCH=∠BEH，
在△FCH和△BEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HFC=∠HBE}\\{FC=BE}\\{∠FCH=∠BEH}\end{array}\right.$
∴△FCH≌△BEH，
∴FH=HB，
同理可得△DFG≌△AEG，
∴FG=GA，
∴GH∥AB．

点评 此题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质以及三角形的中位线定理，灵活利用给出的条件，合理推出结论解决问题．