Question

14．已知抛物线y=ax²-2ax+n（a＞0）与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）．交y轴的负半轴于点C，且x₁＜x₂，OC=OB，S_△ABC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线的顶点，P为抛物线上的点，且在第二象限，S_△PBD=15，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式，可用n表示出C、B的坐标（OB=OC），易求得抛物线的对称轴方程，根据点B的坐标即可求得点A的坐标，从而得到AB的长，利用△ABC的面积即可求得n的值，从而求出A、B、C的坐标，然后利用交点式求抛物线的解析式．
（2）过点D作EF∥x轴，作PE⊥EF于E，BF⊥EF于F，如图，先确定D（1，-4），根据二次函数图象上点的坐标特征，设P（t，t²-2t-3），由于S_梯形PEFB-S_△PED-S_△DBF=S_△PBD，所以$\frac{1}{2}$（4+t²-2t-3+4）•（3-t）-$\frac{1}{2}$•（t²-2t-3+4）•（1-t）-$\frac{1}{2}$•4•（3-1）=15，然后解方程求出t的值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=0，则C（0，n），
∵OC=OB，
∴B（-n，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴A（2+n，0），
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$•（-n-2-n）•（-n）=6，
整理得n²+2n-6=0，解得n₁=-3，n₂=2（舍去），
∴C（0，-3），A（-1，0），B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）过点D作EF∥x轴，作PE⊥EF于E，BF⊥EF于F，如图，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则D（1，-4），
设P（t，t²-2t-3），
∵S_梯形PEFB-S_△PED-S_△DBF=S_△PBD，
∴$\frac{1}{2}$（4+t²-2t-3+4）•（3-t）-$\frac{1}{2}$•（t²-2t-3+4）•（1-t）-$\frac{1}{2}$•4•（3-1）=15，
整理得t²-4t-12=0，解得t₁=-2，t₂=6（舍去），
∴P（-2，5）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．