Question

12．如图，矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2，以AB为弦在矩形内部画一条120°的弧，过点C作直线CE，与$\widehat{AB}$切于点F，与AD边交于点E，那么DE的长是-18+8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 连接OF、OA、OB，作ON⊥CD于N，交CE于P，由垂径定理得出AM，由三角形中位线定理得出PN=$\frac{1}{2}$DE，再求出半径OA，设NP=x，则DE=2x，根据勾股定理得出CE，由△CDE∽△OPF，得出比例式$\frac{CE}{OP}=\frac{CD}{OF}$，得出方程，解方程即可解决问题．

解答 解：如图所示：连接OF、OA、OB，作ON⊥CD于N，交CE于P，
则CE⊥OF，N是CD的中点，M是AB的中点，ON∥AD，
∴P是CE的中点，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴PN=$\frac{1}{2}$DE，
∵$\widehat{APB}$是120°的弧，四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2$\sqrt{3}$，∠D=90°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=30°，
∴OM=1，OA=2，
∴ON=3，
设NP=x，则DE=2x，CE=$\sqrt{（2x）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}+12}$，OP=3-x，
∵ON∥AD，
∴∠CED=∠OPF，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OFP=90°，∠D=∠OFP=90°，
∴△CDE∽△OPF，
∴$\frac{CE}{OP}=\frac{CD}{OF}$，
即$\frac{\sqrt{4{x}^{2}+12}}{3-x}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
两边平方得：$\frac{4{x}^{2}+12}{（3-x）^{2}}=3$，
解得：x=-9±4$\sqrt{6}$，（负值舍去），
∴x=-9+4$\sqrt{6}$，
∴DE=-18+8$\sqrt{6}$；
故答案为：-18+8$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的运用；通过作辅助线由三角形相似得出比例式列出方程是解决问题的关键．