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    7．如图：抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
    （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
    （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，试判断△OEF的形状，请说明理由．并直接写出△OEF的面积取最小值及此时的点E坐标．

    分析 （1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式，进而得出点C的坐标；
    （2）根据点A、B、C的坐标可以求出∠BAC=90°，从而得到△ABC就是直角三角形，所以点C即为所求的一个点P的，再根据平行直线的解析式的k值相等求出过点B的直线PB，与抛物线联立求解即可得到另一个点P；
    （3）根据点A、B、C的坐标可得∠OAE=∠OAF=45°，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠OEF=∠OFE=45°，∠EOF=90°然后根据等角对等边可得OE=OF，然后利用直线AC的解析式设出点E的坐标，再利用勾股定理表示出OE的平方，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到面积的表达式，再利用二次函数的最值问题解答即可．

    解答 解：（1））∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{16a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线解析式为：y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3；
    令x=0，则y=3，
    所以，点C的坐标为（0，3）；

    （2）假设存在，分两种情况：如图1，①过点B作BH⊥x轴于点H，
    ∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
    ∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，
    ∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
    ∴△ABC是直角三角形，
    点C（0，3）符合条件，
    所以，P1（0，3）；
    ②当∠ABP=90°时，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，
    ∵A（3，0），C（0，3），
    ∴直线AC的解析式为y=-x+3，
    设直线BP的解析式为y=-x+b，
    则-4+b=1，
    解得b=5，
    ∴直线BP：y=-x+5，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
    又∵点B（4，1），
    ∴点P的坐标为（-1，6），
    综上所述，存在点P1（0，3），P2（-1，6）；

    （3）如图2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
    ∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，
    又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，
    ∴∠OEF=∠OFE=45°，
    ∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，即△OEF是直角三角形；
    ∵点E在直线AC上：y=-x+3，
    ∴设点E（x，-x+3），
    根据勾股定理，OE2=x2+（-x+3）2，
    =2x2-6x+9，
    所以，S△OEF=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$OE2=x2-3x+$\frac{9}{2}$=（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
    所以，当x=$\frac{3}{2}$时，S△OEF取最小值$\frac{9}{4}$，
    此时-x+3=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$，
    所以，点E的坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

    点评 此题主要考查了二次函数的综合，主要利用了抛物线与x轴的交点间的距离的表示，抛物线上点的坐标特征，直角三角形的判定，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）题，根据点A、B、C的坐标求出45°角，从而得到直角或相等的角是解题的关键，题目构思灵活，数据设计巧妙．

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