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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-44),点B的坐标为(02).

1)求直线AB的解析式;

2)以点A为直角顶点作∠CAD=90°,射线ACx轴的负半轴于点C,射线ADy轴的负半轴于点D.当∠CAD绕着点A旋转时,OC-OD的值是否发生变化?若不变,求出它的值;若变化,求出它的变化范围;

3)如图2,点M-40)和N20)是x轴上的两个点,点P是直线AB上一点.当PMN是直角三角形时,请求出满足条件的所有点P的坐标.

【答案】1)直线AB的解析式为:y=-x+2;(2)(2)不变.理由见解析;(3)点P的坐标为(-44)或(21)或(-+2)或(-+2).

【解析】

1)设直线AB解析式为y=kx+b,把AB坐标代入列出方程组,求出方程组的解得到kb的值,即可确定出直线AB解析式;

2)当∠CAD绕着点A旋转时,OC-OD的值不变,理由为:过AAE垂直于x轴,AF垂直于y轴,利用同角的余角相等得到一对角相等,求出A的坐标得到AE=AF,再由已知直角相等,利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等,利用全等三角形对应边相等得到EC=FD,进而求出OC-OD的值即可;

3)分三种情况考虑:①当M为直角顶点时;②N为直角顶点时;③P为直角顶点时;分别求出P坐标即可.

1)设直线AB的解析式为:y=kx+bk≠0),

∵点A-44),点B02)在直线AB上,

解得:

∴直线AB的解析式为:y=-x+2

2)不变.理由如下:

过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为EF(如答图1),可得∠AEC=AFD=90°

又∵∠BOC=90°

∴∠EAF=90°,即∠DAE+DAF=90°

∵∠CAD=90°,即∠DAE+CAE=90°

∴∠CAE=DAF

A-44),

OE=AF=AE=OF=4

AECAFD中,

∴△AEC≌△AFDASA),

EC=FD

OC-OD=OE+EC-FD-OF=OE+OF=8

OC-OD的值不发生变化,值为8

3)①当M为直角顶点时,点P的横坐标为-4

∵点P在直线AB上,

x=-4代入y=-x+2得,y=4

∴点P的坐标为P-44);

②当N为直角顶点时,点P的横坐标为2

∵点P在直线AB上,

x=2代入y=-x+2得,y=1

∴点P的坐标为P21);

③当P为直角顶点时,

∵点P在直线AB上,可设点P的坐标为(x-x+2),

MP2=x+42+-x+22NP2=x-22+-x+22

RtPMN中,MP2+NP2=MN2MN=6

∴(x+42+-x+22+x-22+-x+22=62

解得:x1=-x2=

P-+2)或(-+2),

综上所述,满足条件的所有点P的坐标为(-44)或(21)或(-+2)或(-+2).

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A.
B.
C.
D.

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