【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,4),点B的坐标为(0,2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)以点A为直角顶点作∠CAD=90°,射线AC交x轴的负半轴于点C,射线AD交y轴的负半轴于点D.当∠CAD绕着点A旋转时,OC-OD的值是否发生变化?若不变,求出它的值;若变化,求出它的变化范围;
(3)如图2,点M(-4,0)和N(2,0)是x轴上的两个点,点P是直线AB上一点.当△PMN是直角三角形时,请求出满足条件的所有点P的坐标.
【答案】(1)直线AB的解析式为:y=-x+2;(2)(2)不变.理由见解析;(3)点P的坐标为(-4,4)或(2,1)或(-,+2)或(,-+2).
【解析】
(1)设直线AB解析式为y=kx+b,把A与B坐标代入列出方程组,求出方程组的解得到k与b的值,即可确定出直线AB解析式;
(2)当∠CAD绕着点A旋转时,OC-OD的值不变,理由为:过A作AE垂直于x轴,AF垂直于y轴,利用同角的余角相等得到一对角相等,求出A的坐标得到AE=AF,再由已知直角相等,利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等,利用全等三角形对应边相等得到EC=FD,进而求出OC-OD的值即可;
(3)分三种情况考虑:①当M为直角顶点时;②N为直角顶点时;③P为直角顶点时;分别求出P坐标即可.
(1)设直线AB的解析式为:y=kx+b(k≠0),
∵点A(-4,4),点B(0,2)在直线AB上,
∴,
解得:.
∴直线AB的解析式为:y=-x+2;
(2)不变.理由如下:
过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F(如答图1),可得∠AEC=∠AFD=90°,
又∵∠BOC=90°,
∴∠EAF=90°,即∠DAE+∠DAF=90°,
∵∠CAD=90°,即∠DAE+∠CAE=90°,
∴∠CAE=∠DAF,
∵A(-4,4),
∴OE=AF=AE=OF=4,
在△AEC和△AFD中,
,
∴△AEC≌△AFD(ASA),
∴EC=FD,
∴OC-OD=(OE+EC)-(FD-OF)=OE+OF=8,
则OC-OD的值不发生变化,值为8;
(3)①当M为直角顶点时,点P的横坐标为-4,
∵点P在直线AB上,
将x=-4代入y=-x+2得,y=4,
∴点P的坐标为P(-4,4);
②当N为直角顶点时,点P的横坐标为2,
∵点P在直线AB上,
将x=2代入y=-x+2得,y=1,
∴点P的坐标为P(2,1);
③当P为直角顶点时,
∵点P在直线AB上,可设点P的坐标为(x,-x+2),
则MP2=(x+4)2+(-x+2)2,NP2=(x-2)2+(-x+2)2,
在Rt△PMN中,MP2+NP2=MN2,MN=6,
∴(x+4)2+(-x+2)2+(x-2)2+(-x+2)2=62,
解得:x1=-,x2=,
∴P(-,+2)或(,-+2),
综上所述,满足条件的所有点P的坐标为(-4,4)或(2,1)或(-,+2)或(,-+2).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数;
(2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.
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【题目】在平面直角坐标系中,三角形的三个顶点分别是, ,
(1)在所给的网格图中,画出这个平面直角坐标系;
(2)点经过平移后对应点为,将三角形作同样的平移得到三角形.
①画出平移后的三角形;
②若边上一点经过上述平移后的对应点为,用含,的式子表示点的坐标;(直接写出结果即可)
③求三角形的面积.
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【题目】为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉,经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时,y与x的函数关系式;
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?
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【题目】如图,过半径为6的圆O上一点A作圆O的切线l,P为圆O的一个动点,作PH⊥l于点H,连接PA.如果PA=x,AH=y,那么下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】一辆出租车从超市(点)出发,向东走到达小李家(点),继续向东走到达小张家(点),然后又回头向西走到达小陈家(点),最后回到超市.
(1)以超市为原点,向东方向为正方向,用表示,画出数轴,并在该数轴上表示、、、的位置;
(2)小陈家(点)距小李家(点)有多远?
(3)若出租车收费标准如下,以内包括收费元,超过部分按每千米元收费,则从超市出发到回到超市一共花费多少元?
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【题目】某花店准备购进甲、乙两种花卉,若购进甲种花卉20盆,乙种花卉50盆,需要900元;若购进甲种花卉40盆,乙种花卉30盆,需要960元.
(1)求购进甲、乙两种花卉每盆各需多少元?
(2)该花店购进甲,乙两种花卉共100盆,甲种花卉每盆售价20元,乙种花齐每盆售价16元,现该花店把100盆花卉全部售出,若获利超过480元,则至少购进甲种花卉多少盆?
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【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8
(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围.
(2)以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M,N两点在拋物线上),请问:△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(3)若抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的最小值.
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