Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是2，点E是射线AB上一动点（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE交射线CB于点F、交DA的延长线于点G．

（1）求证：DE=GF．
（2）连结DF，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式．
（3）当Rt△AEG有一个角为30°时，求线段AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过点F作FH⊥DA，垂足为H，

∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，

∴四边形ABFH是矩形，

∴FH=AB=DA，

∵DE⊥FG，

∴∠G=90°﹣∠ADE=∠DEA，

又∴∠DAE=∠FHG=90°，

∴△FHG≌△DAE，

∴DE=GF

（2）解：∵△FHG≌△DAE

∴FG=DE= ，

∵S△DGF= FGDE，

∴y= ，

∴解析式为：y= （0＜x＜2）

（3）解：①当∠AEG=30°时，

在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°﹣30°=60°，

∴AE=ADtan30°= ，

②当∠AEG=60°时，

在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°﹣60°=30°，

∴AE=ADtan60°=2 ，

综上所述，满足条件的AE的值为2 或 ．

【解析】（1）过点F作FH⊥DA，垂足为H，只要证明，△FHG≌△DAE即可解决问题；（2）由（1）可知DE=FG，所以△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来，所以解析式就可以表示出来；（3）分两种切线画出图形分别解决即可；
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．