Question

15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A（2，3）、B（m，n）两点．
（1）求m、n的值；
（2）设点P（x₁，y₁）（x₁＜0）在直线AB上，点Q（x₁，y₂）在双曲线上，直接写出y₁与y₂的大小关系；
（3）若P是y轴上一点，且△PAB的面积是5，直接写出点P的坐标为（0，3）或（0，-1）．

Answer 1

分析 （1）将A代入双曲线的解析式和直线的解析式即可求出k和b的值，联立直线和双曲线的解析式后即可求出B的值；
（2）由于点Q的位置不确定，所以分三种情况讨论：x＜-3；x=-3；-3＜x＜0；
（3）设P的坐标为（0，m），直线AB与y轴交于点C，利用直线AB的解析式即可求出C的坐标为，继而利用m表示PC的长度，利用三角形面积公式即可求出m的值．

解答 解：（1）把A（2，3）代入y=x+b，
∴b=1，
把A（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x=-3，x=2，
∴B（-3，-2），
∴m=-3，n=-2，；
（2）当-3＜x＜0时，y₁＞y_2，
当x=-3时，y₁=y₂，
当x＜-3时，y₁＜y₂，
（3）过点B作BM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，
由（1）可知：M（-3，0），N（2，0），
∴MN=5，
设P（0，m），直线AB与y轴交于点C，
∴C（0，1），
∴PC=|m-1|，
∵S△PAB=$\frac{1}{2}$PC•OM+$\frac{1}{2}$PC•ON=$\frac{1}{2}$PC•MN，
∴5=$\frac{1}{2}$×5|m-1|，
∴m=3或m=-1，
∴P（0，3）或（0，-1）
故答案为：（0，3）或（0，-1）．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，三角形面积公式等知识，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．