Question

3．如图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过B作关于直线MN的对称点B′，连接AB′，由轴对称的性质可知AB′即为PA+PB的最小值，由同弧所对的圆心角和圆周角的性质可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，由对称的性质可知∠B′ON=∠BON=30°，即可求出∠AOB′的度数，再由勾股定理即可求解．

解答 解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即PA+PB的最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．