Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则AD=BD=1，即此时圆的直径为1，再根据圆周角定理可得到∠EOH=60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出EH=，然后根据垂径定理即可得到EF=2EH=．

解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，

如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，

∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠EOF，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH=sin60°=，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH=，

即线段EF长度的最小值为．

故答案为．