Question

【题目】在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的值是____．

Answer 1

【答案】4.

【解析】

根据新定义，分析函数y=-x2+16在新定义下点P的“可控变点”横坐标与纵坐标的对应关系，在分析a的取值范围．

由定义可知：

①当0≤x≤a时，y′＝﹣x2+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a时，y′随x的增大而减小（如图）

即：﹣a2+16≤y′≤16，

②当﹣5≤x＜0时，y′＝x2﹣16，抛物线y′的开口向上，故当﹣5≤x＜0时，y′随x的增大而减小（如图），

即：﹣16＜y′≤9，

∵点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，

∴﹣a2+16≥﹣16

∴a2≤32，

∴﹣4≤a≤4，

又∵﹣5≤x≤a，

∴a＝4，

在函数y＝﹣x2+16图象上的点P，当a＝4时，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，

故答案为4.