Question

【题目】如图，在中，，点，分别在，上，且，以为圆心，长为半径作圆，经过点，与，分别交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径；

（3）在（2）的条件下，若的内切圆圆心为，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）20；（3）

【解析】

（1）利用相似三角形的判定定理得到，从而得到，根据切线的判定定理证明；（2）过点作，垂足为，得出四边形为矩形，设半径为，得出，再通过，解方程算出的值；（3）根据三角形的面积与三角形内切圆的半径之间满足算出半径，再根据勾股定理计算．

（1）证明：

∵，

∴．

∵，

∴．

∴

∴．

又∵点在上，

∴与相切于点．

（2）过点作，垂足为，

∴．

在四边形中，，

∴四边形为矩形，

∴，，

∴．

设的半径为，则，

∴，．

在和中，

∵，，

∴．

∴，即．

∴．

即的半径为20．

（3）

如图2：过作于，过作于

由（2）得：

∴

∵是的内心

∵

即解得：

∴

∴

∴