【题目】如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,且满足BE=BC.连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B点作BG⊥AE于点G,延长BG交AD于点H.在下列结论中:
①AH=DF; ②∠AEF=45°; ③S四边形EFHG=S△DEF+S△AGH,
其中正确的结论有_____________________.(填正确的序号)
【答案】①②
【解析】∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45,AB=BC,
∵BE=BC,
∴AB=BE,
∵BG⊥AE,
∴BH是线段AE的垂直平分线,∠ABH=∠DBH=22.5,
在Rt△ABH中,∠AHB=90∠ABH=67.5,
∵∠AGH=90,
∴∠DAE=∠ABH=22.5,
在△ADE和△CDE中, ,
∴△ADE≌△CDE,
∴∠DAE=∠DCE=22.5,
∴∠ABH=∠DCF,
在Rt△ABH和Rt△DCF中, ,
∴Rt△ABH≌Rt△DCF,
∴AH=DF,∠CFD=∠AHB=67.5,
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF,
∴67.5=22.5+∠AEF,
∴∠AEF=45,故①②正确;
如图,连接HE,
∵BH是AE垂直平分线,
∴AG=EG
∴S△AGH=S△HEG,
∵AH=HE,
∴∠AHG=∠EHG=67.5,
∴∠DHE=45,
∵∠ADE=45,
∴∠DEH=90,∠DHE=∠HDE=45,
∴EH=ED,
∴△DEH是等腰直角三角形,
∵EF不垂直DH,
∴FH≠FD,
∴S△EFH≠S△EFD,
∴S四边形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH,故③错误,
∴正确的是①②.
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【题目】已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣2,y1),(﹣1,y2),(1,0),且y1<0<y2,对于以下结论:①abc>0;②a+3b+2c≤0;③对于自变量x的任意一个取值,都有x2+x≥﹣;④在﹣2<x<﹣1中存在一个实数x0,使得x0=﹣,其中结论错误的是 (只填写序号).
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【题目】为了提高科技创新意识,我市某中学在“2016年科技节”活动中举行科技比赛,包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别(每个学生只能参加一个类别的比赛),各类别参赛人数统计如图:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)全体参赛的学生共有 人,“建模”在扇形统计图中的圆心角是 °;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在比赛结果中,获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生,获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生,现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察活动,问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少?
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【题目】某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数表达式是y = 60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来.
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【题目】若直线l与直线y=2x﹣3关于y轴对称,则直线l的解析式是( )
A. y=﹣2x+3B. y=﹣2x﹣3C. y=2x+3D. y=2x﹣3
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【题目】定义:如图(1),若分别以△ABC的三边AC、BC、AB为边向三角形外侧作正方形ACDE、BCFG和ABMN,则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形,其中任意两个正方形为△ABC的外展
双叶正方形.
(1)作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG,记△ABC,△DCF的面积分别为S1和S2.
①如图(2),当∠ACB=90°时,求证:S1=S2;
②如图(3),当∠ACB≠90°时,S1与S2是否仍然相等,请说明理由.
(2)已知△ABC中,AC=3,BC=4,作其外展三叶正方形,记△DCF、△AEN、△BGM的面积和为S,请利用图(1)探究:当∠ACB的度数发生变化时,S的值是否发生变化?若不变,求出S的值;若变化,求出S的最大值.
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