Question

17．如图1，在平面直角坐标系中，A（-6，0），B（0，2）、C（-4，4），AC=2$\sqrt{5}$，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点C，连接BC．
（1）求k的值；
（2）如图2，若点M的坐标为（-3，1），点E、F分别在BC、CA的延长线上，且BE=CF，求$\frac{EF}{EM}$的值．

Answer 1

分析 （1）把点C（-4，4）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$即可得出k的值；
（2）连接AB、FM、AG、FB、EG，作BG⊥BE，交FM的延长线于点G，由点的坐标特征得出M为AB的中点，勾股定理和勾股定理的逆定理证明AC=BC，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，得出BG∥CF，由平行线分线段成比例定理得出FM=GM=$\frac{1}{2}$FG，证出四边形AFBG是平行四边形，得出AF=BG，证出CE=BG，由SAS证明△CEF≌△BGE，得出EF=EG，∠EFC=∠GEB，证出△FEG是等腰直角三角形，得出FG=$\sqrt{2}$EF，即可得出结果．

解答 解：（1）把点C（-4，4）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，得：
k=-4×4=-16；
（2）连接AB、FM、AG、FB、EG，作BG⊥BE，交FM的延长线于点G，如图所示
则∠EBG=90°，
∵A（-6，0），B（0，2），C（-4，4），点M的坐标为（-3，1），
∴M为AB的中点，AB²=6²+2²=40，AC²=（2$\sqrt{5}$）²=20，BC²=4²+2²=20，
∴AB²=AC²+BC²，AC=BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC⊥BE，∠FCE=90°，
∴BG∥CF，
∴AM：BM=FM：GM，
∵AM=BM，
∴FM=GM=$\frac{1}{2}$FG，
∴四边形AFBG是平行四边形，
∴AF=BG，
∵BE=CF，
∴CE=AF，
∴CE=BG，
在△CEF和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=BE}&{\;}\\{∠FCE=∠EBG}&{\;}\\{CE=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△BGE（SAS），
∴EF=EG，∠EFC=∠GEB，
∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠GEB+∠FEC=90°，
即∠FEG=90°，
∴△FEG是等腰直角三角形，
∴FG=$\sqrt{2}$EF，
∴$\frac{EF}{EM}$=$\frac{EF}{\frac{1}{2}FG}$=$\frac{EF}{\frac{1}{2}×\sqrt{2}EF}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明平行四边形和全等三角形得出等腰直角三角形才能得出结果．