Question

【题目】如图,△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP=AC，且∠B=2∠P．

(1)求证:∠B=2∠PCA.

(2)求证:PA是⊙O的切线；

(3)若点B位于直径CD的下方,且CD平分∠ACB,试判断此时AE与BE的大小关系,并说明由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AE=EB，理由详见解析.

【解析】

(1)根据等腰三角形的性质，得到∠P=∠ACP，根据∠B=2∠P，即可证明.

(2)连接OA、AD，根据圆周角定理得到，则∠ADC=2∠P=2∠ACP，可得∠ADC=60°，∠ACP=30°，求出∠OAP=90°，即可得到OA⊥PA，即可证明PA是⊙O的切线；

(3) CD平分∠ACB,得到 得到=，根据垂径定理及其推理即可得到结论.

证明：(1)∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP，

∵∠B=2∠P，

∴∠B=2∠ACP，

(2)连接OA、AD，如图，则∠B=∠ADC，

∴∠ADC=2∠P，

∵CD为直径，

∴∠DAC=90°，

∴∠ADC=60°，∠C=30°，

∴△ADO为等边三角形，

∴∠AOP=60°，

而∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线；

(3)AE=EB.

CD平分∠ACB,

=.

根据垂径定理的推论可知，AE=EB.