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【题目】如图ABCOAC边上的一个动点过点O作直线MNBCMNBCA的外角平分线CF于点FACB内角平分线CEE

1求证:EO=FO

2当点O运动到何处时四边形AECF是矩形?并证明你的结论;

3AC边上存在点O使四边形AECF是正方形猜想ABC的形状并证明你的结论。

【答案】1证明见解析;2证明见解析;3ABC是直角三角形证明见解析

【解析

试题分析:1根据CE平分ACBMNBC找到相等的角OEC=ECB再根据等边对等角得OE=OC同理OC=OF可得EO=FO

2利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形

3利用已知条件及正方形的性质解答

试题解析:1CE平分ACB

∴∠ACE=BCE

MNBC

∴∠OEC=ECB

∴∠OEC=OCE

OE=OC

同理OC=OF

OE=OF

2当点O运动到AC中点处时四边形AECF是矩形

如图AO=COEO=FO

四边形AECF为平行四边形

CE平分ACB

∴∠ACE=ACB

同理ACF=ACG

∴∠ECF=ACE+ACF=ACB+ACG=×180°=90°

四边形AECF是矩形

3ABC是直角三角形

四边形AECF是正方形

ACENAOM=90°

MNBC

∴∠BCA=AOM

∴∠BCA=90°

∴△ABC是直角三角形

练习册系列答案
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根据以上信息,解决下列问题:

1)条形统计图中“汤包”的人数是 ,扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为 °;

2)根据抽样调查结果,请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有多少人?

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(2)请根据勾股定理,利用AD作为桥梁建立方程,并求出x的值;

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朝上的点数

1

2

3

4

5

6

出现的次数

7

9

6

8

20

10

(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.

(2)小颖说:“根据上述试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗?为什么?

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(2)若点P从B出发沿y轴负半轴方向运动,速度每秒2个单位,运动时间t秒,△AOP的面积为S,求S与t的关系式,并直接写出t的取值范围;

(3)在(2)的条件下,若S△AOP:S△ABP=1:3,且S△AOP+S△ABP=S△AOB,在线段AB的垂直平分线上是否存在点Q,使得△AOQ的面积与△BPQ的面积相等?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由。

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