Question

【题目】如图，在中，，是的一条角平分线.点、、分别在、、上，且四边形是正方形.

（1）求证：点在的平分线上；

（2）若，，且正方形的面积为4，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）13.

【解析】

（1）过点O作OM⊥AB，由正方形的性质可得OE=OF，OE⊥BC，OF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边距离相等可得OM=OG，所以OM=OF，于是根据角平分线的判定定理可得点O在∠BAC的平分线上；
（2）由勾股定理得AB的长，根据正方形的面积可求OE的长，于是可得OM的长，根据三角形的面积计算公式可求.

解：（1）证明：过点O作OM⊥AB，

∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，∠OEC=∠OFC =90°，

∴OE⊥BC，OF⊥AC,
∵BD是∠ABC的一条角平分线，OM⊥AB,
∴OE=OM，
∴OF=OM，
∴点O在∠BAC的平分线上；

（2）∵，，，

∴在Rt△ABC中，根据勾股定理,

∵正方形的面积为4，

∴OM=OE=2，

∴