Question

5．如图，PB为⊙O的切线，点B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF，
（1）求证：直线PA为⊙O的切线，
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明，
（3）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，先由切线的性质得出∠OBP=90°，再证明△OPA≌△OPB，由对应角相等广昌出∠OAP=∠OBP=90°，即可得出结论；
（2）证△OAD∽△OPA，得出对应边成比例$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，即OA²=OD•OP，再由EF=2OA，即可得出结论；
（3）连接AE，由已知条件设AE=x，AF=2x，根据勾股定理得出EF，由面积得出AD，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可求出cos∠ACB的值，再求出OD、OP的长，即可求出线段PE的长．

解答 （1）证明：连接OB，如图所示：
∵OP⊥AB，
∴OP平分AB，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
在△OPA和△OPB中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}&{\;}\\{PA=PB}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OPA≌△OPB（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）EF²=4OD•OP；
理由：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，即OA²=OD•OP，
∵EF为圆的直径，
∴EF=2OA，
∴$\frac{1}{4}$EF²=OD•OP，
即EF²=4OD•OP；
（3）连接AE，如图所示：
∵EF为直径，
∴∠FAE=90°．
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴设AE=x，AF=2x，
则由勾股定理，得
EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$EF•AD，
∴AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}x$，
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{5}$x，BC²+AB²=AC²，
∴6²+（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x）²=（$\sqrt{5}$x）²，
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{5}$•2$\sqrt{5}$=10，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
∵AD═$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×2$\sqrt{5}$=4，OA=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴OD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
又∵OA²=OD•OP，
∴OP=$\frac{O{A}^{2}}{OD}$=$\frac{{5}^{2}}{3}$=$\frac{25}{3}$，
∴PE=OP-OE=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，通过设未知数，根据勾股定理列出方程，解方程以达到求解的目的．