Question

好学的小宸利用电脑作了如下的探索：

(1)如图①，将边长为2的等边三角形复制若干个后向右平移，使一条边在同一直线上．则△A2C1B1的面积为 ；

(2)求△A4C3B3的面积；

(3)在保持图①中各三角形的边OB1＝B1B2＝B2B3＝B3B4＝2不变的前提下，小宸又作了如下探究：将顶点A1、A2、A3、A4向上平移至同一高度（如图②），若OA4＝OB4，试判断以OA2、OA3和OA4为三边能否构成三角形？若能，请判断这个三角形的形状；若不能，请说明理由．

 

 

Answer 1

(1);（2）.（3）这三边能构成直角三角形.

【解析】

试题分析：（1）分别过A2、C1作x轴的垂线，垂足分别为E、F，根据勾股定理求得相应线段的长度，由△A2C1B1=S梯形A1EFC1-△C1FB1-△A2EB1可求得；

（2）分别计算△A4B3B4、△A4OB4的面积，利用相似三角形即可求出△A4C3B3的面积；

（3）根据勾股定理的逆定理即可判定三角形为直角三角形.

试题解析：(1) ;

(2)解得△A4B3B4的面积为：

解得△A4OB4的面积为：

利用△OC3B3∽△OA4B4得：S四边形C3B3B4A4:S△OA4B4=7:16

∴四边形C3B3B4A4的面积为：

∴△A4C3B3的面积为：.

（3）能.

设这些等腰三角形的高为h.

则：OA22=9+h2，

OA32=25+h2，

OA42=64

∵OA4=OB4

∴∠OA4B=∠OB4A4=∠A4B3B4

∴△OA4B4∽△A4B4B3

∴

∴A4B4=4

∴h2=15

∴OA22+OA32=OA42

即这三边能构成直角三角形.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.直角三角形的判定.