Question

9．如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A₁，B₁，C₁，D₁，E₁，F₁分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{8}$

Answer 1

分析 六边形ABCDEF和A₁B₁C₁D₁E₁F₁都是正多边形，两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积．

解答 解：边长是2cm的正六边形ABCDEF的面积是：6×$\frac{1}{2}$×sin60°×2²=6$\sqrt{3}$cm²．
作出连接中心O，连接OD₁，OC．
在直角△OCD₁中，∠O=30°，CD₁=$\frac{1}{2}$CD=1（cm）．
则OD₁=$\sqrt{3}$CD₁=$\sqrt{3}$，OG=$\frac{1}{2}$OD₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C₁D₁=$\sqrt{3}$．
则A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面积是：6×$\frac{1}{2}$×sin60°×（$\sqrt{3}$）²=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$cm²．
则图中阴影部分的总面积是$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选A．

点评 本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为正多边形的计算，理解两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积是关键．