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【题目】如图正方形ABCDAB=4PCD边上的动点(P点不与CD重合)过点P作直线与BC的延长线交于点EAD交于点FCP=CE连接DEBPBFCPxPBF的面积为S1 PDE的面积为S2

1)求证BPDE

2)求S1S2关于x的函数解析式并写出x的取值范围

3)分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°S1S2的值

【答案】1)证明见解析;(2S1S2= x20x4);(3当∠PBF=30°时,S1S2=当∠PBF=45°时,S1S2=

【解析】试题分析:(1)首先延长BPDEM.然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE,依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE,由∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,即可推出∠CDE+∠DPM=90°;

(2)根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE,然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可;

(3)分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC的长,最后再利用(2)中结论进行计算即可.

试题解析:(1)如图1中,延长BP交DE于M,

∵四边形ABCD是正方形,

∴CB=CD,∠BCP=∠DCE=90°,

∵CP=CE,

∴△BCP≌△DCE,

∴∠BCP=∠CDE,

∵∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,

∴∠CDE+∠DPM=90°,

∴∠DMP=90°,

∴BP⊥DE;

(2)由题意S1﹣S2=(4+x)x﹣ (4﹣x)x=x2(0<x<4);

(3)①如图2中,当∠PBF=30°时,

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°,∠FDP=90°,

∴∠PFD=∠DPF=45°,

∴DF=DP,∵AD=CD,

∴AF=PC,∵AB=BC,∠A=∠BCP=90°,

∴△BAF≌△BCP,

∴∠ABF=∠CBP=30°,

∴x=PC=BCtan30°=

∴S1﹣S2=x2=

②如图3中,当∠PBF=45°时,在CB上截取CN=CP,连接PN,

由①可知△ABF≌△BCP,

∴∠ABF=∠CBP,

∵∠PBF=45°,

∴∠CBP=22.5°,

∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°,

∴∠NBP=∠NPB=22.5°,

∴BN=PN=x,

x+x=4,

∴x=4 ﹣4,

∴S1﹣S2=(4 ﹣4)2=48﹣32

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