【题目】如图,正方形ABCD中,AB=4,P是CD边上的动点(P点不与C、D重合),过点P作直线与BC的延长线交于点E,与AD交于点F,且CP=CE,连接DE、BP、BF,设CP═x,△PBF的面积为S1 ,△PDE的面积为S2 .
(1)求证:BP⊥DE.
(2)求S1﹣S2关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
(3)分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时,S1﹣S2的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)S1﹣S2= x2(0<x<4);(3)①当∠PBF=30°时,S1﹣S2=;②当∠PBF=45°时,S1﹣S2=.
【解析】试题分析:(1)首先延长BP交DE于M.然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE,依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE,由∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,即可推出∠CDE+∠DPM=90°;
(2)根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE,然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可;
(3)分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC的长,最后再利用(2)中结论进行计算即可.
试题解析:(1)如图1中,延长BP交DE于M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠BCP=∠DCE=90°,
∵CP=CE,
∴△BCP≌△DCE,
∴∠BCP=∠CDE,
∵∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,
∴∠CDE+∠DPM=90°,
∴∠DMP=90°,
∴BP⊥DE;
(2)由题意S1﹣S2=(4+x)x﹣ (4﹣x)x=x2(0<x<4);
(3)①如图2中,当∠PBF=30°时,
∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°,∠FDP=90°,
∴∠PFD=∠DPF=45°,
∴DF=DP,∵AD=CD,
∴AF=PC,∵AB=BC,∠A=∠BCP=90°,
∴△BAF≌△BCP,
∴∠ABF=∠CBP=30°,
∴x=PC=BCtan30°=,
∴S1﹣S2=x2=;
②如图3中,当∠PBF=45°时,在CB上截取CN=CP,连接PN,
由①可知△ABF≌△BCP,
∴∠ABF=∠CBP,
∵∠PBF=45°,
∴∠CBP=22.5°,
∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°,
∴∠NBP=∠NPB=22.5°,
∴BN=PN=x,
∴x+x=4,
∴x=4 ﹣4,
∴S1﹣S2=(4 ﹣4)2=48﹣32 .
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【题目】如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB,CD相交于点O,B,D两点立于地面,经测量:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm.(参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan28.1°≈0.534)
(1)求证:AC∥BD;
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°);
(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,若点P(m,m﹣n)与点Q(﹣2,3)关于原点对称,则点M(m,n)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(4,0),写出顶点A1,B1的坐标;
(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形,写出△A2B2C2的各顶点的坐标;
(3)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3,写出△A3B3C3的各顶点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b经过点A(﹣30,0)和点B(0,15),直线y=x+5与直线y=kx+b相交于点P,与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式.
(2)求△PBC的面积.
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【题目】一列快车由甲地开往乙地,一列慢车由乙地开往甲地,两车同时出发, 匀速运动. 快车离乙地的路程y1(km) 与行驶的时间x(h) 之间的函数关系, 如图中线段AB 所示;慢车离乙地的路程y2(km) 与行驶的时间x(h)之间的函数关系, 如图中线段OC 所示。根据图象下列问题:
(1) 甲、乙两地之间的距离为__________km ;
(2) 线段AB 的解析式为_______________________;线段OC 的解析式为_________________________;
(3) 设快、慢车之间的距离为y(km), 求y 与慢车行驶时间x(h) 的函数关系式, 并画出函数的图象。
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