【题目】如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)点P在线段AB上运动的过程中,是否存在点Q,使得△BOD∽△QBM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)已知点F(0,),点P在x轴上运动,试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】(1)y=﹣x2+
x+2;(2)存在,点Q的坐标为(3,2);(3)m=﹣1或m=3或m=1+
或1﹣
时,四边形DMQF是平行四边形.
【解析】
(1)根据待定系数法求解可得;
(2)利用△BOD∽△QBM得,再证△MBQ∽△BPQ得
,解之即可得此时m的值.
(3)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2,则Q(m,-
m2+
m+2)、M(m,
m-2),由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程,解之可得.
(1)由抛物线过点A(﹣1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x﹣4),
将点C(0,2)代入,得:﹣4a=2,
解得:a=﹣,
则抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣
x2+
x+2;
(2)如图所示:
∵当△BOD∽△QBM时,
则,
∵∠MBQ=90°,
∴∠MBP+∠PBQ=90°,
∵∠MPB=∠BPQ=90°,
∴∠MBP+∠BMP=90°,
∴∠BMP=∠PBQ,
∴△MBQ∽△BPQ,
∴,
∴,
解得:m1=3、m2=4,
当m=4时,点P、Q、M均与点B重合,不能构成三角形,舍去,
∴m=3,点Q的坐标为(3,2);
(3)由题意知点D坐标为(0,﹣2),
设直线BD解析式为y=kx+b,
将B(4,0)、D(0,﹣2)代入,得:,
解得:,
∴直线BD解析式为y=x﹣2,
∵QM⊥x轴,P(m,0),
∴Q(m,﹣m2+
m+2)、M(m,
m﹣2),
则QM=﹣m2+
m+2﹣(
m﹣2)=﹣
m2+m+4,
∵F(0,)、D(0,﹣2),
∴DF=,
∵QM∥DF,
∴当|﹣m2+m+4|=
时,四边形DMQF是平行四边形,
解得:m=﹣1或m=3或m=1+或1﹣
即m=﹣1或m=3或m=1+或1﹣
时,四边形DMQF是平行四边形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2平移,使平移后的抛物线经过点A(–3,0)、B(1,0).
(1)求平移后的抛物线的表达式.
(2)设平移后的抛物线交y轴于点C,在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P,当BP与CP之和最小时,P点坐标是多少?
(3)若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点,那么,在平移后的抛物线的对称轴上,是否存在一点M,使得以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似?若存在,求点M坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】△ABC中,∠A=30°,AC=8,∠B=90°,点D在AB上,BD=,点P在△ABC的边上,则当AP=2PD时,PD的长为____________________.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC为弦,D为弧AC的中点,AC、BD相交于点E.AP交BD的延长线于点P.∠PAC=2∠CBD.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若PD=3,AE=5,求△APE的面积.
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【题目】如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120cm,高AD=80cm,要把它加工成一个矩形零件,使矩形PQMN的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上.设PQ=xcm,矩形PQMN的面积为ycm2,请写出y关于x的函数表达式(并注明x的取值范围)_____.
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【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OF⊥AB,交AC于点F,点E在AB的延长线上,射线EM经过点C,且∠ACE+∠AFO=180°.
(1)求证:EM是⊙O的切线;
(2)若∠A=∠E,BC=,求阴影部分的面积.(结果保留
和根号).
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【题目】一个盒中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球.
(Ⅰ)请用列表法(或画树状图法)列出所有可能的结果;
(Ⅱ)求两次取出的小球标号相同的概率;
(Ⅲ)求两次取出的小球标号的和大于6的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)与反比例函数y
=
(m为常数,且m≠0)的图象交于点A(﹣2,1)、B(1,n).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连结OA、OB,求△AOB的面积;
(3)直接写出当y1<y2<0时,自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,cosB=,点M是AB边的中点,将△ABC绕着点M旋转,使点C与点A重合,点A与点D重合,点B与点E重合,得到△DEA,且AE交CB于点P,那么线段CP的长是__________.
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