[题目]如图.AB是⊙O的直径.BC为弦.D为弧AC的中点.AC.BD相交于点E．AP交BD的延长线于点P．∠PAC＝2∠CBD．(1)求证:AP是⊙O的切线,(2)若PD＝3.AE＝5.求△APE的面积．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为弧AC的中点，AC、BD相交于点E．AP交BD的延长线于点P．∠PAC＝2∠CBD．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）若PD＝3，AE＝5，求△APE的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据切线的判定与性质、圆周角定理证明即可；

（2）根据等腰三角形的判定和性质解答即可．

（1）∵D为弧AC中点，

∴∠CBA＝2∠CBD，

∵AB为直径，

∴∠CAB＋∠CBA＝90°，

∴∠CAB＋2∠CBD＝90°，

即∠PAC＋∠CAB＝90°，

∴PA⊥AB

∴AB为圆O切线；

（2）由（1）易得△PAE为等腰三角形PD＝3，PE＝6，AE＝5，

∴AD＝4，

∴S△APE＝ADPE＝12

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如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，将ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到AD′E′，连接CE′，BD′.探究CE′与BD′的数量关系；

图1　　图2 图3　　图4

探究发现：

(1)图1中，CE′与BD′的数量关系是________；

(2)如图2，若将问题中的条件“D，E分别是边AB，AC的中点”改为“D为AB边上任意一点，DE∥BC交AC于点E”，其他条件不变，(1)中CE′与BD′的数量关系还成立吗？请说明理由；

拓展延伸：

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BE′，CD′，分别取BC，CD′，E′D′，BE′的中点F，G，H，I，顺次连接F，G，H，I得到四边形FGHI.请判断四边形FGHI的形状，并说明理由；

(4)如图4，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将ADE绕点A顺时针旋转60°得到AD′E′，连接CE′，BD′.请你仔细观察，提出一个你最关心的数学问题(例如：CE′与BD′相等吗？)．

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