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【题目】数学活动

问题情境:

如图1ABCABACBAC90°DE分别是边ABAC的中点ADE绕点A顺时针旋转α(0°α90°)得到ADE连接CEBD′.探究CEBD的数量关系;

1   2 3   4

探究发现:

(1)1CEBD的数量关系是________

(2)如图2若将问题中的条件“DE分别是边ABAC的中点”改为“DAB边上任意一点DEBCAC于点E其他条件不变(1)CEBD的数量关系还成立吗?请说明理由;

拓展延伸:

(3)如图3(2)的条件下连接BECD分别取BCCDEDBE的中点FGHI顺次连接FGHI得到四边形FGHI.请判断四边形FGHI的形状并说明理由;

(4)如图4ABCABACBAC60°DE分别在ABACDEBCADE绕点A顺时针旋转60°得到ADE连接CEBD′.请你仔细观察提出一个你最关心的数学问题(例如:CEBD相等吗?)

【答案】CEBD

【解析】试题分析:(1)先证明AD=AE,再根据旋转得到∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,证明△ABD′≌△ACE′,根据全等三角形的对应边相等即可得;

(2)类比(1)的方法先证明AD=AE,然后再证明△ABD′≌△ACE′,根据全等三角形的性质即可得;

(3)先证明四边形FGHI是平行四边形,再证明四边形FGHI是菱形, 延长CE交BD′于点M,由(2)得△ABD′≌△ACE′, 从而推导可得∠CBM+∠BCM=90°,进而可推导得到∠IFG=90°,从而得四边形FGHI是正方形;

(4)答案不唯一,只要符合题意即可.

试题解析:(1) ∵D、E分别为AB、AC的中点,AD=ABAE=AC

∵AB=AC,∴AD=AE,

∵△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到△AD′E′,

∴∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,

在△ABD′和△ACE′中

∴△ABD′≌△ACE′,

∴CE′=BD′,

故答案为:CE′=BD′;

(2)CE′与BD′的数量关系还成立,理由如下:

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.

∴∠ADE=∠AED,∴ AD=AE,

∵△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到△AD′E′,

∴∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,

在△ABD′和△ACE′中

∴ △ABD′≌△ACE′,

∴ CE′=BD′;

(3)四边形FGHI是正方形,

∵F,G,H,I分别是BC,CD′,E′D′,BE′的中点,

∴FG=HI=BD′,IF=HG=CE′.

∴四边形FGHI是平行四边形,

又∵BD′=CE′,∴FG=IF,

∴四边形FGHI是菱形,

延长CE交BD‘于点M,如图,

由(2)得△ABD′≌△ACE′,

∴∠ACE′=∠ABD′,

∵∠BAC=90°,

∴∠ACE′+∠ABC+∠BCM=90°,

∴∠ABD′+∠ABC+∠BCM=90°,

∴∠CBM+∠BCM=90°,

又∵FG∥BD′,IF∥CE′,

∴∠CFG=∠CBM,∠BFI=∠BCM,

∴∠CFG+∠BFI=90°,∴∠IFG=90°,

∴四边形FGHI是正方形;

(4)答案不唯一,如:①△ABD′和△ACE′全等吗?

②△BDD′和△CEE′全等吗?

③∠BD′D和∠CE′E相等吗?

④四边形AD′DE是菱形吗?,

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1    2

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