Question

【题目】在中，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．

（1）如图1，当时，设与相交于点，求证是等边三角形；

（2）如图2，设中点为，中点为，，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值并说明此时旋转角的度数，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）线段EP的长度存在最大值，最大值EP=，θ=120°

【解析】

（1）首先利用平行线的性质和旋转不变性可证得∠BCB=∠CBA=∠CBA=30°，据此可求得∠ACD、∠ADC，至此即可证明结论；
（2）连接CP，根据旋转的性质可得∠A=∠A=90°-30°=60°，AC=AC，根据题意可得
CP=，CE=，至此在△ECP中，根据三角形的三边关系进行求解即可

解：（1）证明:根据旋转的性质可得∠CBA=∠CBA=30°
∵AB//CB
∴∠BCB=∠CBA=30°，

∴∠ACB=90°，∠CAB=60°，

∵∠ACD+∠BCB=90°
∴∠ACB=60°
∴△ACD是等边三角形；

（2）存在．理由如下：
如解图1，连接CP，根据旋转的性质可得
∠A=∠A=90°-30°=60°， AC=AC
∵∠A=60°，AB中点为P，AC=， AC=AC,

∴CP=AB=·2=

∴在△ECP中，EP＜EC+CP=+=

即EP＜

∴当E、F、C共线时，如解图2， PE最长

∴∠ACA=180°-∠PCA=180°-60°=120°

∴EP最长为，旋转角θ为120°．