Question

5．已知抛物线C：y=ax²+bx+6的顶点为M，且经过点A（1，0），对称轴为直线x=2．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）将抛物线C绕着x轴上的一点P旋转180°得到抛物线C′，且点M的对应点记为点M′，点A的对应点记为点A′，若四边形AM′A′M的面积为16，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数对称性可求出点A（1，0）关于对称轴直线x=2的对称点为（3，0），然后把（1，0），（3，0）代入y=ax²+bx+6即可求出答案．
（2）设P（t，0），根据题意，PA=PA′=|t-1|，M′的纵坐标为2，由四边形AM′A′M的面积=4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+6的对称轴为x=2，
∴根据二次函数的对称性得：点A（1，0）的对称点为（3，0），
把两点代入得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+6=0}\\{9a+3b+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=2x²-8x+6，
∵y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴顶点M的坐标为（2，-2）．
（2）设P（t，0），
根据题意，PA=PA′=|t-1|，M′的纵坐标为2，
∵四边形AM′A′M的面积为16，
∴4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，
解得t=5或-3，
∴点P的坐标为（5，0）或（-3，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象与几何变换，求出点A关于对称轴的对称点和熟练掌握旋转的性质是本题的关键．