【题目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF。
(1)若E是线段AC的中点,如图1,易证:BE=EF(不需证明);
(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点,其它条件不变, 如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明。
【答案】(2)BE=EF,证明见解析
【解析】解:(2)图2:BE=EF。图3。
图2证明如下:过点E作EG∥BC,交AB于点G,
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC。
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AC,∠ACB=60°。
又∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°。
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。
又∵CF=AE,∴GE=CF。
又∵∠BGE=∠ECF=120°,∴△BGE≌△ECF(SAS)。∴BE=EF。
(1)根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=∠ABC=30°,AE=CE,所以CE=CF,然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°,从而得到∠CBE=∠F,根据等角对等边的性质即可证明。
(2)图2,过点E作EG∥BC,交AB于点G,
根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质得到AB=AC,∠ACB=60°,再求出△AGE是等边三角形,根据等边三角形的性质得到AG=AE,从而可以求出BG=CE,再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°,然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等,根据全等三角形对应边相等即可得证。
图3,证明思路与方法与图2完全相同, 证明如下:
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G,
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC。
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AC∠ACB=60°。
又∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°。
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。
又∵CF=AE,∴GE=CF。
又∵∠BGE=∠ECF=60°,∴△BGE≌△ECF(SAS)。∴BE=EF。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)和点B(0,3),点C是AB的中点,点P在折线AOB上,直线CP截△AOB,所得的三角形与△AOB相似,那么点P的坐标是__________.
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【题目】已知一个模型的三视图如图所示(单位:m).
(1)请描述这个模型的形状;
(2)制作这个模型的木料密度为360 kg/m3,则这个模型的质量是多少千克?
(3)如果要给这个模型刷油漆,每千克油漆可以漆4 m2,需要油漆多少千克?
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【题目】如图,菱形AB1C1D1的边长为1,∠B1=60°;作AD2⊥B1C1于点D2,以AD2为一边,做第二个菱形AB2C2D2,使∠B2=60°;作AD3⊥B2C2于点D3,以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3,使∠B3=60°…则AD2=_____,依此类推这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是_____.
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【题目】某市对2400名年满15岁的男生的身高进行了测量,结果身高(单位:m)在1.68~1.70这一小组的频率为0.25,则该组的人数为
A. 600人 B. 150 人 C. 60人 D. 15人
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【题目】小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏,游戏规则是:分别旋转两个转盘,若其中一个转盘转出了红色,另一个转出了蓝色则可以配成紫色.此时小刚得1分,否则小明得1分.这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由.若你认为不公平,如何修改规则才能使游戏对双方公平?
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【题目】已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相交于点O.以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点An的坐标为____________.
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【题目】下列说法正确的是( )
A “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
B “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C “彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖
D “抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次,那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数
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