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【题目】在菱形ABCD中,ABC=60°,E是对角线AC上一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF。

(1)若E是线段AC的中点,如图1,易证:BE=EF(不需证明);

(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点,其它条件不变, 如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明。

【答案】(2)BE=EF,证明见解析

【解析】解:(2)图2:BE=EF。图3。

图2证明如下:过点E作EGBC,交AB于点G,

四边形ABCD为菱形,AB=BC。

∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形。

AB=AC,ACB=60°。

EGBC,∴∠AGE=ABC=60°。

∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形。AG=AE。BG=CE。

CF=AE,GE=CF。

∵∠BGE=ECF=120°,∴△BGE≌△ECF(SAS)。BE=EF。

(1)根据菱形的性质结合ABC=60°可得ABC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质可得CBE=ABC=30°,AE=CE,所以CE=CF,然后等边对等角的性质可得F=CEF,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出F=30°,从而得到CBE=F,根据等角对等边的性质即可证明

(2)图2,过点E作EGBC,交AB于点G,

根据菱形的性质结合ABC=60°可得ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质得到AB=AC,ACB=60°,再求出AGE是等边三角形,根据等边三角形的性质得到AG=AE,从而可以求出BG=CE,再根据等角的补角相等求出BGE=ECF=120°,然后利用“边角边”证明BGE和ECF 全等,根据全等三角形对应边相等即可得证

图3,证明思路与方法与图2完全相同证明如下:

过点E作EGBC交AB延长线于点G,

四边形ABCD为菱形,AB=BC

∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形

AB=ACACB=60°

EGBC,∴∠AGE=ABC=60°

∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形AG=AEBG=CE

CF=AE,GE=CF

∵∠BGE=ECF=60°,BGE≌△ECF(SAS)BE=EF

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