Question

6．如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．
（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是∠AMC′=2∠ACB（写出结论即可）．
（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．
（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．
（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°（写出结论即可）．

Answer 1

分析 （1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由两个平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；
（3）利用两次外角定理得出结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由两平角的和为360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，根据四边形的内角和得：∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，代入前式可得结论．

解答 解：（1）由折叠得：∠ACB=∠MC′C，
∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，
∴∠AMC′=2∠ACB；
故答案为：∠AMC′=2∠ACB；
（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由是：
由折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠CMA+∠CNB=360°，
∴∠AMC′+∠′BNC′=360°-∠CMN-∠C′MN-∠CNM-∠C′NM=360°-2∠CMN-2∠CNM，
∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°-∠CMN-∠CNM）=2∠ACB；
（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，
∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，
∵∠C=∠C′，
∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，
∴∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
（4）由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠DMA+∠CNB=360°，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，
∵∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（360°-∠C-∠D）=2（∠C+∠D）-360°，
故答案为：∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°．

点评 本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．