Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D，在P点运动过程中，当t=2时，点D落在双曲线y=$\frac{16}{x}$上．

Answer 1

分析 先证得△AOP∽△PEB，根据相似比求得P的坐标，进而求出点D的坐标，然后将D（t+2，4）代入y=$\frac{16}{x}$中，即可求出t的值．

解答 解：∵∠APB=90°，
∴∠OPA+∠BPE=90°，
∴∠AOP=∠PEB=90°，
∴∠∠OAP+∠OPA=90°，
∴∠OAP=∠BPE，
∴△AOP∽△PEB且相似比为$\frac{AO}{PE}$=$\frac{AP}{PB}$=2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴点D的坐标为（t+2，4），
∴点D落在双曲线y=$\frac{16}{x}$上，有4（t+2）=16，
解得t=2，
故当t为2时，点D落在双曲线y=$\frac{16}{x}$上．
故答案为2．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识．由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解题的关键．