Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）过点A作AD⊥x轴，
在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，
设AD=4x，OD=3x，
∵OA=5，
在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y=中，
解得：m=12，
则反比例函数的解析式为y=；

（2）把点B的坐标为（-6，n）代入y=中，
解得n=-2，
则B的坐标为（-6，-2），
把A（3，4）和B（-6，-2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，
解得，
则一次函数的解析式为y=x+2，
∵点C在x轴上，令y=0，得x=-3
即OC=3，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=×3×4+×3×2=9．
分析：（1）过点A作AD⊥x轴，在直角三角形AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；
（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出三角形AOC与三角形BOC的面积，相加即可得到三角形AOB的面积．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．