Question

如图，AB为⊙O直径，直线MN交⊙O于C、D两点，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F．
（1）求证：CE=DF；
（2）若MN向上平移，与AB相交于点P，如果其他条件不变，那么（1）是否仍成立？

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,梯形中位线定理

专题：计算题

分析：（1）过点O作OG⊥CD于G，如图，根据垂径得CG=DG，然后证明OG为梯形ABFE的中位线，得到GE=GF，于是有CE=DF；
（2）过点O作OG⊥CD于G，根据垂径定理得CG=DG，由于AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，得到AE∥OG∥BF，根据平行线等分线段定理得到GC=GD，则CG-EG=DG-FG，即CE=DF．

解答：（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，如图，则CG=DG，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，
∵OA=OB，
∴OG为梯形ABFE的中位线，
∴GE=GF，
∴EG-CG=FG-DG，
即CE=DF；

（2）解：（1）中的结论仍成立．理由如下：
过点O作OG⊥CD于G，则CG=DG，


∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，GC=GD，
∴EG=FG，
∴CG-EG=DG-FG，
即CE=DF．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了梯形的中位线定理．