Question

如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，圆心O在AD上，OC∥AB．
（1）试证明：DC=BC；
（2）已知AC=12，AD：BC=3：1，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆周角定理,平行线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由OC∥AB，根据平行线的性质，即可得∠OCA=∠CAB，又由OA=OC，根据等边对等角，即可得∠OAC=∠OCA，则可证得AC平分∠DAB；最后由圆周角、弧、弦间的关系证得结论；
（2）由圆心O在AD上，可知AD是直径，根据圆周角定理，即可得∠ACD=90°，然后利用勾股定理即可求得答案．

解答：（1）证明：∵OC∥AB，
∴∠OCA=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB，
∴

DC

=

BC

，
∴DC=BC；

（2）解：由（1）知 DC=BC．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵AC=12，AD：BC=3：1，
∴在Rt△ACD中，AD=

AC2+CD2

，则AD=

122+ 1 9 AD2

，
解得 AD=9

2

．
则⊙O的半径是

1

2

AD=

9 2

2

．

点评：此题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题比较简单，解题的关键是数形结合思想的应用，注意掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．