Question

已知线段OP=1，取OP的中点P₁，取PP₁的中点P₂．
（1）比较线段OP_n与OP_n-1的大小（n为大于1的整数）．
（2）若OP=1m，则n从何值开始，线段P_n-1P_n＜1mm．

Answer 1

考点：比较线段的长短

专题：

分析：（1）利用已知线段长度结合图象进而分析比较线段长度即可；
（2）利用有理数的乘方运算法则进而得出n的值．

解答：解：（1）∵线段OP=1，取OP的中点P₁，取PP₁的中点P₂，
∴OP₁=

1

2

，P₁P₂=

1

4

，P₂P₃=

1

8

，P₃P₄=

1

16

，
如图所示：当n为偶数时，OP_n＞OP_n-1，
当n为奇数时，OP_n＜OP_n-1；

（2）∵OP=1，则OP₁=

1

2

，P₁P₂=

1

4

=（

1

2

）²，P₂P₃=

1

8

=（

1

2

）³，P₃P₄=

1

16

=（

1

2

）⁴，
∴P_n-1P_n=（

1

2

）ⁿ，
∵OP=1m=1000mm，
∵1000×（

1

2

）ⁿ＜1，
当n=10，（

1

2

）ⁿ=

1

1024

，
故n≥10时，线段P_n-1P_n＜1mm．

点评：此题主要考查了比较线段长度，利用数形结合得出是解题关键．